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2006/05/16 (Tue) 11:19 / /
六法最密構造の充填率は74%、孔隙率は26%である…

以外と前者の詳細な計算方法がネットに載っていない→おれが載せる…

六法最密構造、原子の配置

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この格子は正六角形を底面とする六角柱である…
含まれる原子の数は、上面が1/6×6+1/2×1=1.5、下面も同様で中高の面で1×3
よって、1.5×2+3よりこの構造の中には6つの原子が含まれていることになる…

問題はここからで、原子の半径をrとして原子の六角柱に占める体積の割合を求めるわけだが…
ここで最密構造の原子配置は正四面体が含まれている、
4つの原子を空間的に最密に配置するには各原子は正四面体の頂点に位置しなければいけないことが重要!

まず六角柱の高さを求める…
手抜きなので図がなくて申し訳ないが、1辺の長さが2rである正四面体の高さを求めるとこれが2√6/3rとなることがわかる…
書く必要はないと思われるが、頂点から底面に垂線を下ろすと三角形の重心に落ちる…
三角形の高さが√3rなので、これに2/3をかけた値が今から三平方の定理を適用する三角形の底辺…
で、正四面体の高さ=√(4−4/3)r=2√6/3rとなる…
よってこれを2倍した高さ4√6/3rが六角柱の高さとなる…
1辺の長さが2rである正六角形の面積は、1辺の長さが2rの正三角形が6つあると考えると、
6×(1/2×2r×2r×SIN120')=6√3r^2
よって、六角柱の体積はこれに高さ4√6/3rをかけた12√2r^3となる…

で、うち内部の原子6つの占める体積が、6×4/3パイr^3=8パイr^3となって、
充填率が8パイr^3/(12√2r^3)=√2パイ/3=0.74(74%)

とかなんとかなってこれから孔隙率が26%と求まって、結局レポートは幕を閉じた…
とにかく最密構造では4つの原子は正四面体の頂点に位置することを知っとくとあとは気合で解けるってことだ…
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